波动方程 - 波动方程是个什么方程
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波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种二阶线性偏微分方程,波动方程是双曲型偏微分方程的最典型代表.
微分方程
微分方程（Differential Equation）是一类包含未知函数及其导数的方程。微分方程的作用是描述函数如何随其变量的变化而变化。微分方程主要有以下两类：
- 常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE） ：
-
只涉及一个自变量和其导数的方程。
-
例如，描述人口增长的方程： d P d t = r P \frac{dP}{dt} = rP dtdP=rP，其中 P P P 是人口数量， t t t 是时间， r r r 是增长率。
- 偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE） ：
-
涉及多个自变量和其偏导数的方程。
-
例如，描述热传导的热方程： ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t∂u=α∂x2∂2u，其中 u ( x , t ) u(x, t) u(x,t) 表示在位置 x x x 和时间 t t t 的温度分布， α \alpha α 是热扩散系数。
常微分方程 ：涉及一个自变量及其导数。
偏微分方程 ：涉及多个自变量及其偏导数。
常微分方程 ：
d
y
d
x
=
k
y
\frac{dy}{dx} = ky
dxdy=ky
这是一个简单的常微分方程，描述了指数增长或衰减现象。
偏微分方程 ：
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
∂
2
u
∂
x
2
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
∂t2∂2u=c2∂x2∂2u
这是经典的波动方程，描述了波在介质中的传播。
一阶线性偏微分方程
一阶线性偏微分方程 是指偏微分方程中最高阶的偏导数是一阶的方程。它可以用一般形式表示为：
a
(
x
,
y
)
∂
u
∂
x
+
b
(
x
,
y
)
∂
u
∂
y
+
c
(
x
,
y
)
u
=
d
(
x
,
y
)
a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x} + b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y} + c(x,y)u = d(x,y)
a(x,y)∂x∂u+b(x,y)∂y∂u+c(x,y)u=d(x,y)
其中，
u
=
u
(
x
,
y
)
u = u(x,y)
u=u(x,y) 是未知函数，
a
,
b
,
c
,
d
a, b, c, d
a,b,c,d 是已知函数。一个典型的一阶线性偏微分方程的例子是：
∂
u
∂
t
+
c
∂
u
∂
x
=
0
\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0
∂t∂u+c∂x∂u=0
这个方程描述了一个沿着
x
x
x 轴以速度
c
c
c 传播的波。
二阶线性偏微分方程
二阶线性偏微分方程 是指偏微分方程中最高阶的偏导数是二阶的方程。它可以用一般形式表示为：
A
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
x
2
+
B
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
x
∂
y
+
C
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
y
2
+
D
(
x
,
y
)
∂
u
∂
x
+
E
(
x
,
y
)
∂
u
∂
y
+
F
(
x
,
y
)
u
=
G
(
x
,
y
)
A(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D(x,y)\frac{\partial u}{\partial x} + E(x,y)\frac{\partial u}{\partial y} + F(x,y)u = G(x,y)
A(x,y)∂x2∂2u+B(x,y)∂x∂y∂2u+C(x,y)∂y2∂2u+D(x,y)∂x∂u+E(x,y)∂y∂u+F(x,y)u=G(x,y)
其中，
u
=
u
(
x
,
y
)
u = u(x,y)
u=u(x,y) 是未知函数，
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
A, B, C, D, E, F, G
A,B,C,D,E,F,G 是已知函数。波动方程 的一个常见形式是：
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
∂
2
u
∂
x
2
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
∂t2∂2u=c2∂x2∂2u
这里
u
=
u
(
x
,
t
)
u = u(x,t)
u=u(x,t) 是描述在位置
x
x
x 和时间
t
t
t 的波动函数，
c
c
c 是波速。
双曲型偏微分方程
双曲型偏微分方程 是一类特殊类型的二阶线性偏微分方程，具有某些重要的数学特性，特别是它们描述了具有波动性质的现象。对于一般形式的二阶线性偏微分方程：
A
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
x
2
+
B
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
x
∂
y
+
C
(
x
,
y
)
∂
2
u
∂
y
2
=
0
A(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
A(x,y)∂x2∂2u+B(x,y)∂x∂y∂2u+C(x,y)∂y2∂2u=0
可以通过判定条件
B
2
−
4
A
C
>
0
B^2 - 4AC > 0
B2−4AC>0 来确定它是否为双曲型方程。
波动方程是最典型的双曲型偏微分方程。波动方程的双曲性表明它的解有明确的波动传播特性，即解的影响以有限速度传播。
例子
一阶线性偏微分方程 ：
- 一阶传输方程： ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x = 0 \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0 ∂t∂u+c∂x∂u=0
二阶线性偏微分方程 ：
- 波动方程： ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t2∂2u=c2∂x2∂2u
- 热方程： ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t∂u=α∂x2∂2u
- 拉普拉斯方程： ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
双曲型偏微分方程 ：
- 波动方程： ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t2∂2u=c2∂x2∂2u
